Lie Algebra

Lie Algebra 李代数
李代数是Lie Group 的切空间，是李群的局部线性近似。通过将李群在单位元附近进行线性化，李代数将复杂的非线性问题转化为相对简单的线性代数问题，是连接李群理论、微分几何和物理学的核心桥梁。
通常写作小写字母，如李代数 $\mathfrak{se}(3)$ 对应于李群的 $SE(3)$。

公理

李代数是一个向量空间 $\mathfrak{g}$，配有一个二元运算 $[\cdot ,\cdot ]:\mathfrak{g}\times \mathfrak{g}\to \mathfrak{g}$（李括号），满足：

1. 双线性 (Bilinearity)：$[aX+bY,Z]=a[X,Z]+b[Y,Z]$
2. 反对称性 (Anti-commutativity)：$[X,X]=0$，从而 $[X,Y]=-[Y,X]$
3. 雅可比恒等式 (Jacobi Identity)：$[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0$

李代数的来源

1. 李群的切空间：任何李群 $G$ 在单位元 $e$ 处的切空间 $T_{e}G$ 都构成李代数 $\mathfrak{g}$，其李括号反映了群乘法的无穷小非交换性。
2. 矩阵交换子：$[A,B]=AB-BA$。根据阿多定理 (Ado's Theorem)，任何有限维李代数都同构于一个矩阵李代数。
3. 三维向量叉积：${\mathbb{R}}^3$ 配备叉积运算构成李代数，即 $\mathfrak{so}(3)$。

结构概念

• 子代数 (Subalgebra)：对李括号封闭的子空间。
• 理想 (Ideal)：$\mathrm{\forall }X\in \mathfrak{i},Y\in \mathfrak{g},[X,Y]\in \mathfrak{i}$。
• 单李代数 (Simple)：没有非平凡理想的非阿贝尔李代数。
• 半单李代数 (Semisimple)：可分解为单李代数的直和。有限维复半单李代数已通过根系和邓肯图完全分类。

\mathfrak{}   \mathfrak{se}

Lie 代数和Lie 群

Lie 群描述全局运动（非线性），李代数描述局部运动（线性）。

• 通过 指数映射（exp） 可以从李代数映射到 Lie 群。
• 通过 对数映射（log） 可以从 Lie 群映射到李代数。

常见 Lie 群的数学推导

1. $SO(2)$：二维平面旋转群

群元素：二维旋转矩阵

李代数：李代数 $\mathfrak{so}(2)$ 的元素：

指数映射：

2. $SO(3)$：三维空间旋转群

群元素：三维旋转矩阵

李代数：李代数 $\mathfrak{so}(3)$ 的元素（反对称矩阵）：

指数映射（使用 Rodrigues 公式）：

对数映射：给定旋转矩阵 $R$，其旋转轴 $\omega$ 与旋转角度 $\theta$ 满足：

旋转向量：

3. $SE(2)$：二维刚体运动群

群元素：$R(\theta )$ 为 $SO(2)$ 旋转矩阵，$t\in {\mathbb{R}}^2$ 为平移向量。

李代数：李代数 $\mathfrak{se}(2)$ 的元素：

指数映射：

当 $\omega \ne 0$ 时，有：

其中：

4. $SE(3)$：三维刚体运动群

群元素：$R\in SO(3)$，$t\in {\mathbb{R}}^3$。

李代数： $\mathfrak{se}(3)$ 的元素，$\hat{\omega }\in \mathfrak{so}(3)$，$v\in {\mathbb{R}}^3$

指数映射：

其中，$J$ 为平移部分的雅可比矩阵：

对数映射：给定刚体变换矩阵 $T$，旋转部分用 $R$，平移部分用 $t$

旋转角度 $\theta$ 同上，计算 $J^{-1}$，得到：

5. ${\mathbb{R}}^n$：欧式空间（特殊情况）

当只涉及平移，没有旋转时，李群退化为欧式空间，群运算为向量加法，李代数就是自己。